質問①： "another few days" とは、どういう意味ですか？
回答①： 「もう数日（２～３日）、さらに数日」という意味です。
すでに何かの期間に（明示的または黙示的に）言及しているときに、最初に言及した期間に加えて「もう数日」と言うときに使われるのが "another few days" です。
質問②： "another few weeks" や "another few months" も同様ですか？
回答②： 同様です。 "another few weeks" なら「もう数週間」という意味ですし、"another few months" なら「もう数ヶ月」です。
詳しくは以下をご覧ください。
1.「another ＋ 単数名詞」が基本
"another" は単数の名詞と共に使われます。 ですから、"another" を複数の名詞と共に用いる "another days/weeks/months" は文法的に正しくありません。
"another" は「an + other」です。 この "an" は不定冠詞の "an" にほかなりませんから、"another" を複数形の名詞に使うのは、不定冠詞 "a" を複数形の名詞に使うのと同じぐらいおかしなことです。
2.「another ＋ 複数形」になる理由
それなのにどうして "few days/weeks/months" という複数の名詞に "another" が使われているのでしょうか？
それは、"(a) few days/weeks/months" を「１ダース」のような単位とみなし、その単位１つ（すなわち単数）に対して "another" を適用するからだと考えられます。
"another set of a few days/weeks/months" を省略したのが "another few days/weeks/months" と理解して問題ないでしょう。（＊）3. "another few days/weeks/months" は複数扱い？ それとも単数扱い？
単数名詞にしか付かない "another" が複数名詞に付くという矛盾のために、"another few days/weeks/months" は単数として扱われたり複数として扱われたりするのでしょう。