質問： "another two weeks" とは、どういう意味ですか？
回答： 「もう２週間、さらに２週間」という意味です。
すでに何かの期間に言及しているときに、最初に言及した期間に加えて「もう２週間」と言うのが "another two weeks" です。
詳しくは以下をご覧ください。
1.「another ＋ 単数名詞」が基本
"another" は単数の名詞と共に使われるので、"another week" なら問題ありませんが "another weeks" は文法的に正しくありません。
"another" は「an + other」です。 この "an" は不定冠詞の "an" ですから、"another" を複数形の名詞に使うのは、"an apples" と言うのと同じぐらいおかしなことです。
2.「another ＋ 複数形」になる理由
それなのにどうして、"another two weeks" では "two weeks" という複数の名詞に "another" が使われているのでしょうか？
それは、"two weeks" を「１ダース（a dozen）」のような単位とみなし、その単位１つ（すなわち単数）に対して "another" を適用するからだと考えられます。
"another set of two weeks" が省略されたのが "another two weeks" と理解して問題ないでしょう。
another two weeks ＝ another fortnight
英語には「１４日間（２週間）」を意味する "fortnight" という名詞があります。
"fortnight" は単数扱いの可算名詞で、中身は複数ですが単数の名詞として扱われます(*)。 "fortnight" は "14 days" あるいは "two weeks" という複数の名詞を単一のパッケージに入れて単数の名詞として扱うわけです。"fortnight" は "another" を付けて "another fortnight（もう２週間）" とできます。 "another two weeks" は "another fortnight" の "fortnight" を "two weeks" に置き換えた表現だと捉えれば理解しやすいでしょう。
3. "another two weeks" は複数扱い？ それとも単数扱い？
単数名詞にしか付かない "another" が複数名詞に付くという矛盾のために、"another two weeks" は単数として扱われたり複数として扱われたりするのでしょう。