質問： "another three years" とは、どういう意味ですか？
回答： 「もう３年間、さらに３年間」という意味です。
すでに何かの年数（期間）に言及しているときに、最初に言及した年数に加えて「もう３年間」と言うのが "another three years" です。
詳しくは以下をご覧ください。
1.「another ＋ 単数名詞」が基本
"another" は単数の名詞と共に使われるので、"another year" なら問題ありませんが "another years" は文法的に正しくありません。
"another" は「an + other」です。 この "an" は不定冠詞の "an" ですから、"another" を複数形の名詞に使うのは、"an apples" と言うのと同じぐらいおかしなことです。
2.「another ＋ 複数形」になる理由
それなのにどうして、"another three years" では複数の名詞 "three years" に "another" が使われるのでしょうか？
それは、"three years" を「１ダース（a dozen）」のような単位とみなし、その単位１つ（すなわち単数）に対して "another" を適用するからだと考えられます。
"another set of three years" が省略されたのが "another three years" と理解して問題ないでしょう。
3. "another three years" は複数扱い？ それとも単数扱い？
"another three years" は複数としても単数としても扱われます。
Another three years have passed.
さらに３年間が過ぎた。
＃ "Another three years" が複数扱いなので、"have" となっている。
Another three years has passed.
さらに３年間が過ぎた。
＃ "Another three years" が単数扱いなので、"has" となっている。
単数名詞にしか付かない "another" が複数名詞に付くという矛盾のために、"another three years" は単数として扱われたり複数として扱われたりするのでしょう。