"You don't～" は「あなたは～ない」と否定する表現です。

"you（あなた）" を主語とする英語の否定文の多くは "You don't～" という形を取ります。 例えば次の通り：

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肯定文： You have a book.
（あなたは本を持っている）

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否定文： You don't have a book.
（あなたは本を持っていない）

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"You" の後ろに "don't" を挿入するわけです。 こうして生まれた "You" と "don't" の連なりが "You don't～." です。

"don't" は "do not" が短縮された言葉です。 "You do not have a book." も正しい英語で、"You don't have a book." と同じ意味を持ちます。

"You are't～" も「あなたは～ない」と否定する表現です。

否定文になる以前の文（肯定文）が "You are～." だと、"You don't～" ではなく "You are't～" となります。

"You are～." の "are" は「Ｂｅ動詞」と呼ばれるタイプの動詞です。 Ｂｅ動詞は他の動詞（例えば "have" や "walk" など）と否定文の作り方が違います。

"You are～." を否定文にするには、文中に "don't（do not）" を挿入するのではなく、すでに文中に存在する "are" の後ろに "not" を挿入します。 次の通り：

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肯定文： You are a child.
（あなたは子供だ）

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否定文： You are not a child.
（あなたは子供ではない）

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"are not" を短縮すると "aren't" で、そうして生まれた "aren't" と "You" の連なりが "You are'nt～." です。